Материалы

§5. Расчеты стоимости Азиатского опциона

Вывод формул для расчета стоимости, хеджирующих стратегий и рационального момента для опционов Европейского и Американского типов с функцией выплат с последействием в случае, когда рынок функционирует непрерывно во времени, теоретически представляется намного сложнее, в отличии от случая с дискретным временем. В частности при расчетах связанных с Азиатским опционом возникает сложность при определении распределения функционала от броуновского движения . В работе [10] приведены методы, позволяющие определить распределения некоторых интегральных функционалов, где подынтегральные функции зависят только от броуновского движения. Вычисление распределения интересующего нас интеграла можно свести к вычислению распределения стохастического интеграла , если , а случае  к вычислению распределения . Подобные стохастические интегралы рассматриваются в [11], но в более частном виде. Обобщение полученных результатов в [10], [11] требует более глубокого изучения теории случайных процессов. Другой научной литературы с решениями подобных задач найти не удалось.

Рассчитаем математическое ожидание от стохастического интеграла .

Вычислим второй момент от этого же интеграла:

2. Опишем метод, позволяющий рассчитать рациональную стоимость Азиатского опциона купли Европейского типа с моментом исполнения . Функция выплат этого опциона . Для построения броуновского движения сформулируем вспомогательный результат [3, с. 294]. Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения, , с вероятностями  («схема Бернулли»). Возьмем полупрямую  и для каждого  образуем процесс  с кусочно-постоянными траекториями

. (5.1)

Из многомерной центральной предельной теоремы (см. [8; гл. 8]) можно заключить, что для любых , конечномерное распределение  сходятся (слабо) к конечномерному распределению , где – стандартное броуновское движение.

На самом деле можно утверждать больше:

в смысле слабой сходимости законов распределения в пространствах  (функций, непрерывных справа и имеющих пределы слева) и  (непрерывных функций); см.. подробнее, например, [9].

Разобьем произвольно интервал на  частей . Для каждого   можно приблизить по распределению суммой из (5.1), где . Допустим, что мы имеем  таких разбиений, тогда можно рассчитать выборочное среднее функционала , которое является стоимостью опциона.

где можно получить из (5.1).

Пример. Используя составленную для ЭВМ программу, основанную на выше описанном методе, сделаем расчеты стоимости Азиатского опциона Европейского типа с следующими начальными данными. Пусть размерность выборки , время предъявления опциона к исполнению , начальная цена акции SFR, а облигации SFR. Оговариваема в контракте константа . Предположим, что коэффициент изменчивости  и процентная ставка . Величина имеет порядок , где . Интервал  разобьем на  частей, тогда получаем SFR. Если и , то SFR (в случае дискретного времени при тех же условиях стоимость  SFR).