Материалы
§4. Расчет стоимости опционов Американского типа
Рассмотрим (B,S)-рынок, состоящий из двух активов – банковского счета
, определяемого в (1.1), и рисковой
акции
, эволюция, которой подчиняется
стохастическому дифференциальному уравнению (1.4), где
и W – стандартный винеровский процесс.
Будем изучать опцион Американского
типа (см. п. 6 в §2) с крайней датой исполнения и набором неотрицательных платежных
функций
. Считается, что опцион может быть
предъявлен к исполнению в любой марковский момент
из [0,T], с выплатой продавцом покупателю платежа
. Предполагается, что случайный
процесс
является согласованным, т.е.
–измеримы при каждом
, и его траектории принадлежат
пространству D функций,
непрерывных справа и имеющих пределы слева. Из этого допущения вытекает, в частности,
что случайная величина
-измерима.
Замечание. Мы предполагаем функции заданными при всех
, а не только для
. Это дает возможность рассматривать
вводимые объекты, например, стоимости опционов C
при разных значениях терминального
момента T и при
.
Фиксируя момент Т,
будем обозначать совокупность конечных марковских
моментов
таких, что
.
Пусть – стратегия из класса SF
, где
– фиксировано,
, являющаяся (
)-хеджем Американского типа и
– отвечающий ей капитал:
Тогда [см. 2, с.88]
и, значит, стоимость C (см. определение 4 в §2)
удовлетворяет неравенству:
C (4.1)
где берется по классу марковских
моментов
Следующая теорема, являющаяся центральной во всей проблематике опционов Американского типа, показывает, что в (4.1) на самом деле имеет место равенство.
Теорема 1. [2, с. 105]. а) Справедливая (рациональная) стоимость опционов Американского типа
C (4.2)
б) В классе SF существует
минимальный
–хедж
с
потреблением
C*, капитал которого
определяется
формулой
с) В хедже с потреблением C* процессы
и
определяются из формул
д) Момент является рациональным моментом
погашения в том и только в том случае, когда на
в (4.2) достигается верхняя грань:
C
Введем в этой связи следующие условия.
I. Семейство дисконтируемых платежных
величин равномерно интегрируемо по мере Р
.
II. Процесс имеет только положительные скачки
Теорема 2. [2, с. 106] Если выполнены условия I и II, то момент является
рациональным моментом исполнения опциона.
Замечание. Условия I и II являются «минимальными» требованиями, гарантирующими существование рационального момента погашения в том смысле, что отказ от любого из них влечет за собой нарушение утверждения теоремы.