Материалы

§4. Расчет стоимости опционов Американского типа

 Рассмотрим (B,S)-рынок, состоящий из двух активов – банковского счета , определяемого в (1.1), и рисковой акции , эволюция, которой подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению (1.4), где  и W – стандартный винеровский процесс.

Будем изучать опцион Американского типа (см. п. 6 в §2) с крайней датой исполнения  и набором неотрицательных платежных функций . Считается, что опцион может быть предъявлен к исполнению в любой марковский момент  из [0,T], с выплатой продавцом покупателю платежа . Предполагается, что случайный процесс  является согласованным, т.е.  –измеримы при каждом , и его траектории принадлежат пространству D функций, непрерывных справа и имеющих пределы слева. Из этого допущения вытекает, в частности, что случайная величина -измерима.

Замечание. Мы предполагаем функции  заданными при всех , а не только для . Это дает возможность рассматривать вводимые объекты, например, стоимости опционов C при разных значениях терминального момента T  и при .

Фиксируя момент Т, будем обозначать  совокупность конечных марковских  моментов  таких, что .

Пусть  – стратегия из класса SF, где  – фиксировано, , являющаяся ()-хеджем Американского типа и – отвечающий ей капитал:

Тогда [см. 2, с.88]

и, значит, стоимость C (см. определение 4 в §2) удовлетворяет неравенству:

C (4.1)

где берется по классу марковских моментов

Следующая теорема, являющаяся центральной во всей проблематике опционов Американского типа, показывает, что в (4.1) на самом деле имеет место равенство.

Теорема 1. [2, с. 105]. а) Справедливая (рациональная) стоимость опционов Американского типа

C (4.2)

б) В классе SF существует минимальный  –хедж  с потреблением C*, капитал которого  определяется формулой

с) В хедже  с потреблением C* процессы  и  определяются из формул

д)  Момент  является рациональным моментом погашения в том и только в том случае, когда на  в (4.2) достигается верхняя грань:

C

Введем в этой связи следующие условия.

I.  Семейство дисконтируемых платежных величин  равномерно интегрируемо по мере Р.

II. Процесс  имеет только положительные скачки

Теорема 2. [2, с. 106] Если выполнены условия I и II, то момент  является  рациональным моментом исполнения опциона.

Замечание. Условия I и II являются «минимальными» требованиями, гарантирующими существование рационального момента погашения в том смысле, что отказ от любого из них влечет за собой нарушение утверждения  теоремы.