Материалы
§2. Инвестирование, портфель ценных бумаг
1. Представим некоторого инвестора,
имеющего начальный капитал 
, находящийся
в момент 
на банковском счете B и
в акциях S в соответствии с портфелем 
:
. (2.1)
Аналогичным образом,
пусть 
есть 
–согласованная пара, описывающая
состояние портфеля ценных бумаг инвестора в момент времени 
:
. (2.2)
По экономическим и чисто
математическим причинам на операции, совершаемые на (B,S)-рынке, и на стратегии
(иначе — портфель ценных бумаг) 
будут накладываться
некоторые ограничения.
Во-первых,
предполагается, что все совершаемые операции (сделки, обмены, купля-продажа и
т.д.) происходят непрерывно во времени и к тому же «без трения», т.е.
отсутствуют операционные издержки, налоги и т.д. нет ограничений на возможные
значения величин 
и 
(они могут быть и
отрицательными, что отвечает занятию в долг, могут быть и безгранично-делимыми,
т.е. принимать любые значения из (
)).
Во-вторых, к рассмотрению
допускаются лишь самофинансируемые стратегии ,
т.е. такие, что для капитала 
,
определяемого формулами(2.2), имеет место (для каждого 
R) интегральное
представление
(2.3)
с условиями (P-п.н.,
)
(2.4)
Замечание 1. Отметим, что роль технических
условий (7.4) состоит в том, что они обеспечивают существование (при каждом t
>0) интеграла Лебега 
для
P-п.н. всех ω и стохастических интегралов 
.
Замечание 2. Смысл условия самофинансирования (2.3) становится более наглядным, если переписать это условие в «дифференциальной» форме:
(2.5)
и предположить, что процессы 
и 
являются процессами
локально ограниченной вариации. Тогда из (2.2) по формуле Ито
что вместе с (2.5) приводит к тому, что «самофинансируемость» может быть выражена в следующем виде:
наглядный смысл последнего равенства
понятен – изменения капитала на банковском счете (т.е.
) могут происходить только
за счет соответствующего изменения капитала в акциях (т.е.
) и наоборот. По-другому,
можно сказать, что в рассматриваемых предположениях нет притока капитала из
вне, нет его оттока, а все изменения могут происходить лишь за счет собственных
внутренних средств, находящихся на банковском счете и в акциях.
Класс самофинансируемых стратегий обозначим SF.
Замечание 3. Во многих задачах приходится также рассматривать ситуации, где есть приток и/или отток капитала (скажем, за счет дивидендов и/или на потребление). Формальное описание может быть получено, например, следующим образом.
Пусть -
некоторая стратегия, 
и 
– случайный процесс
такой, что 
где 
и 
--два непрерывных справа
неубывающих процесса с 
и F-измеримыми
и 
. Процесс будем интерпретировать
как интегральный процесс оттока (например, на потребление), а 
– процесс
притока
капитала (например, за счет дивидендов). Суммарный же капитал от 
и 
определяется формулой
(2.6)
Если
предположить, что 
и 
являются
процессами
ограниченной вариации и капитал в момент 
определяется
формулой (2.2), то находим, что (2.6) равносильно следующему «балансовому»
соотношению
которое можно трактовать так:
изменения в стоимости акций и на банковском счете происходят согласованным
образом с учетом как притока 
, так и
оттока(
) капитала.
Если в (2.6) нет притока
капитала (
), а есть только отток (
), то соответствующую
стратегию 
также естественно называть
самофинансируемой стратегией с потреблением 
.
Пару и , капитал которой эволюционирует
в соответствии с (2.6) (c
),
будем обозначать (
), а отвечающей этой
паре капитал – через 
.
2. Пусть 
–
некоторая самофинансируемая стратегия, 
,
и – отвечающий ей капитал.
Чтобы подчеркнуть зависимость от 
и
ω, будем для X также пользоваться обозначениями:
, 
Из (2.5) с учетом (1.2) и (1.4) находим
и (см.(1.6))
(2.7)
Введем в рассмотрение дисконтируемый
капитал 
, отвечающей стратегии :
.
По формуле Ито из (1.2) и (2.7)
или, в интегральной форме,
где по мере 
процесс
является винеровским
(см.(1.8)), а стохастический интеграл (как процесс)
определенный в силу второго условия
(2.4) и свойства loc P, есть локальный
мартингал, т.е. существует (локализующая) последовательность марковских
моментов 
таких, что 
– мартингал,
. В качестве 
здесь могут быть взяты,
например, моменты
;
подробнее см. [5 гл.1, §4].
4. Введем ряд объектов, с помощью которых будет определяться цель инвестирования и способы ее достижения.
Пусть Т — некоторый
фиксированный момент времени и 
есть F–
измеримая неотрицательная случайная величина.
Определение 2. Будем говорить, что стратегия 
является (
)-хеджем Европейского
типа, если
и –п.н.
.
Будем говорить также, что
()-хедж 
является минимальным, если
для всякого ()-хеджа
.
Вводимое ниже определение (ср. с
определением 2 в §1, [1]) можно было бы давать и для класса всех
самофинансируемых стратегий. Однако наиболее содержательным и интересным для
нас оно является в случае стратегий класса 
,
где множество
самофинансируемых стратегий таких, что 
.
Определение 3. Пусть 
() – множество ()-хеджей из 
. Величина
Ǿ} (2.8)
называется инвестиционной стоимостью (ценой).
Если в (2.8)
inf достигается, то 
–
это тот минимально
возможный начальный капитал, для которого найдется стратегия 
, обладающая
тем свойством,
что (P-п.н.).
Иначе говоря,
инвестор, ставящий перед собой задачу получения в момент времени Т
капитала, не меньшего 
,
с минимально
возможным начальным капиталом х, сможет осуществить эту задачу путем
организации соответствующего портфеля ценных бумаг на интервале [0,T] ,
если этот начальный капитал 
.
Из сказанного становится понятным, к каким математическим задачам сводится рассматриваемая проблема инвестирования:
а) определение величины инвестиционной
стоимости .
б) отыскание ()-хеджирующей стратегии
для 
.
5. Напомним вкратце, что опцион
Европейского типа с моментом исполнения Т и функцией платежа – это контракт между
двумя сторонами, скажем, продавцом (эмитентом) и покупателем.
Этот контракт дает покупателю право предъявить опцион к исполнению в
момент времени Т с получением платежа, задаваемого оговариваемой
контрактом величиной .
Для таких опционов
величина , определяемая в (2.2),
имеет смысл справедливой (рациональной) стоимости (цены, премии) данного
контракта. Подробнее см. §1, в [1].
6. В случае опционов Европейского типа
с моментом исполнения Т продавец опциона, получив от покупателя премию
, начинает распоряжаться
этим капиталом как инвестор на (B,S)-рынке, преследуя цель составить портфель
ценных бумаг 
, который гарантировал бы
получение капитала 
, не меньшего .
Перейдем теперь к
рассмотрению опционов Американского типа и связанных с ними
инвестиционных проблем. В случае таких опционов, действующих на фиксированном
интервале времени [0,T] , покупателю опциона разрешено предъявлять его в
любой момент времени 
со значениями
из [0,T], с получением платежа 
,
где 
– заданное условиями
контракта семейство неотрицательных –измеримых
платежных функций 
таких, что к
тому же процесс 
является прогрессивно
измеримым. (Это последнее предположение обеспечивает 
–измеримость величин 
; подробнее см. 7).
Естественно, что момент может
выбираться «покупателем» лишь на основании доступной информации о состоянии
рынка. Иначе говоря, если «покупатель» решает в момент времени не предъявлять
опцион к исполнению, то это решение должно основываться на информации о
состоянии рынка до момента времени t. Формально это означает, что является марковским
моментом, или моментом остановки, т.е. таким, что событие 
для всякого 
.
По аналогии со стоимостью
(ценой) для опционов Европейского
типа введем соответствующие стоимости и для опционов Американского типа.
Определение 4. Пусть П*(
)–
множество ()-хеджей Американского типа, т.е.
таких, что 
и 
(Р-п.н.) для всех 
.
Справедливой (рациональной) стоимостью (ценой) опциона Американского типа называется величина
Ǿ}.
Из смысла рассматриваемых опционов Европейского и Американского типа понятно, что
,
если 
.
Как и в случае опционов
Европейского типа, величину 
будем
называть инвестиционной стоимостью или ценой (в проблеме
инвестирования Американского типа).
В связи с вопросом о том,
в какие моменты времени 
покупателю
разумно предъявлять опцион к исполнению, дадим следующее
Определение 5. Момент остановки 
назовем рациональным,
или разумным моментом исполнения (погашения) опциона Американского типа
с крайней датой исполнения Т и набором неотрицательных платежных
функций, если для всякого портфеля
с начальным капиталом и такого, что
(Р-п.н.),
имеет место равенство
(Р-п.н.).
Приведенное определение
имеет ясный экономический смысл (см. также [1, §1]). Действительно, 
если - цена опциона и в
нерациональный момент для некоторой
стратегии с положительной Р– вероятностью, то покупателю выгоднее самому
выступить на (B,S)-рынке в качестве инвестора (предполагается, что такая
принципиальная возможность имеется). Это позволит ему для некоторой стратегии 
с положительной Р–
вероятностью в момент получить
капитал 
, больший, нежели
выплачиваемый ему согласно контракту платеж 
.
