Материалы
Глава 2. Расчет стоимости опционов и стратегий для непрерывного времени
§1 Диффузионная модель (B,S) – рынка
1. Рассмотрим (B,S)-рынок с двумя
активами – банковским счетом 
и акцией
- функционирует непрерывно
во времени.
Относительно банковского
счета В предполагается, что 
–
детерминированная функция с
,
, 
, (1.1)
подчиняющаяся, очевидным образом, уравнению
. (1.2)
Для описания эволюции
стоимостей 
акции, представляющей по
своей природе «рисковую» ценную бумагу, будем предполагать, что все
рассмотрения происходят на винеровском статистическом базисе, т.е. каноническом
фильтрованном винеровском пространстве 
F,
,
где:
Ώ – пространство С непрерывных функций,
F – борелевская σ–алгебра , порожденная
цилиндрическими множествами (
),
P – винеровская мера на (Ώ, F),
– фильтрация, т.е. поток 
–алгебр 
, где 
есть – алгебра, пополненная
множествами из F нулевой P–вероятности.
Относительно винеровской
меры P канонический процесс 
c 
является стандартным винеровским
процессом (броуновским движением), «мартингальная» характеризация которого
состоит в том, что W – это процесс с непрерывными траекториями такой,
что для 
(P-п.н.)
,
,
т.е. процессы
и 
, где 
, являются (относительно
потока F и меры P ) мартингалами.
Рассмотрим модель «геометрического»,
или «экономического», броуновского движения ,
предложенная П. Самуэльсоном, согласно которой S является случайным
процессом с
{
}, (1.3)
где 
–
винеровский процесс («обычное» броуновское движение), 
.
Вводя стохастическую экспоненту Долеан (см., например, [5,гл.2,§4])
,
являющуюся мартингалом (относительно ( F,P )), видим, что
).
Из этого мультипликативного
представления S ясно, что в случае 
процесс
S является супермартингалом, при 
–
мартингалом, при 
–
субмартингалом.
Используя формулу Ито ([5], гл2,§3]),из (1.4.) находим, что стохастический дифференциал
, (1.4)
или, в интегральной форме,
.
.2. Во всем
дальнейшем величина процентной ставки (interest rate) r в (1.1) считается
раз и навсегда фиксированной, причем 
.
В соответствии с (1.3)
цена акций зависит, в сущности, от
трех параметров: «случайности» ω, коэффициент изменчивости, или волатильности
(volatility, volatility coefficient), 
и
коэффициента роста, или нормы возврата (appreciation rate),
. По крайней мере в
принципе, коэффициент σ может быть оценен по сколь угодно малому интервалу
непрерывных измерений процесса S и поэтому во всем дальнейшем будет
считаться известным и фиксированным. Сложнее дело обстоит с коэффициентом роста
, который «хуже» поддается
оцениванию, нежели параметр . В этой
связи представляется целесообразным не фиксировать то или иное значение , а с самого начала
считать, что в реальной ситуации цены акций описываются геометрическим
броуновским движением , подчиняющимся
уравнению (1.4), где есть некоторый,
вообще говоря, неизвестный, параметр; принимающий значения в R
.
Исходя из сказанного,
примем гипотезу о том , что эволюция цен акций
определяется «случайностью» 
и
параметром , что будет находить свое
отражение в том, что наряду с записью мы
используем также следующие обозначения: 
и
.
Замечание.
Понятно, что наличие винеровской меры P на (Ώ,F) как некоторой
«базисной» меры и параметра порождает
семейство вероятностных распределений для цен акций. В этом смысле это семейство
играет ту же самую роль, что и семейство мер P, введенных в §1 настоящей
работы.
3. В соответствии с принятой гипотезой о
винеровской мере P и параметре ,
определяющих вероятностный закон цен акций, покажем, что на каноническом пространстве
(Ω,F,F
можно построить
семейство мер {
}
таких, что их сужения 
определяются по мерам 
посредством формул
где
{-
}. (1.5)
Ясно, что если 
определено формулой (1.5),
то 
действительно является вероятностной
мерой на (Ω,
), поскольку 
и 
.
Рассмотрим теперь алгебру
A
и определим на ее
элементах А функцию множеств 
,
полагая 
, если 
. Поскольку совокупность
мер {
}
образует согласованное семейство
(т.е. 
для всех 
), то 
определяется на A
однозначно и является конечно-аддитивной функцией множеств. Можно показать, что
для всякой последовательности
множеств
из A c
, (ср. с
доказательством теоремы 1, §3, гл.II в [6]). Тем самым, является на A
σ–аддитивной
вероятностью и по теореме Каратеодори ( [6, гл. II, §3]) допускает и притом
единственное продолжение до вероятностной меры, обозначаемой также , на
σ –алгебре
.
Так построенные меры , локально эквивалентны
мере 
P),
т.е. 
(в смысле, что <<
) и при этом 
.
Отметим, что 
при 
. Поэтому 
есть ни что иное, как
исходная винеровская мера P. Из (1.10) и формулы Ито следует, что
и
Отсюда, обозначая 
усреднение по мере , находим, что
т.е.
где
(1.6)
Аналогично (1.6) находим, что -п.н.
и
(1.7)
Поэтому по теореме Леви
(см.[7, теорема 4.1]) процесс 
как непрерывный
мартингал со свойством (1.7) является стандартным винеровским процессом и,
значит,
(при
этом 
). (1.8)
Из (1.4), (1.6), (1.8) видим, что для
любого .
(1.9)
и
(1.10)
т.е. для любого вероятностные
свойства процесса 
, рассматриваемые
относительно новой меры,
таковы же, как
и свойства процесса S(r) относительно исходной винеровской меры P.
