Материалы
Пример
1. Рассмотрим на примере Азиатского
арифметического опциона купли (Asian arithmetical call option) Американского типа возможность
использования полученных результатов для расчета рациональной стоимости
опциона, оптимального момента остановки (в который нужно предъявить покупателю
опцион к исполнению) и хеджирующей стратегии. Последовательность функций выплат
Азиатского опциона выглядит следующим образом 
, где 
и
– некоторая фиксированная константа
(striking price), 
–момент исполнения
(maturity time, expiration data), 
– стоимость
акции в момент времени k.
Предположим, что 
– рынок это модель рынка
валюты. Пусть последовательность
описывает (случайную) эволюцию стоимости 100 US $
измеряемую в швейцарских франках. Пусть 
SFR, цена 
в момент времени 
в виде (2) равна 
, цена 
в момент времени 
–– 
, где 
и 
одинаково распределенные случайные
величины принимающие два значения: 
(в случае повышения курса доллара) и 
(в случае понижения). То есть
Предположим также, что 
SFR (стоимость одной облигации)
и процентная ставка 
. Тем самым, помещение вклада
на банковский счет принесет прибыль 
, но и взятие
некоторой ссуды взаймы облагается тем же процентами при ее возврате.
Пусть конечный момент
времени предъявления опциона к исполнению 
и
страйковая цена 
SFR. Тогда если
покупатель предъявит опцион к исполнению в момент 
,
то продавец должен выплатить 
SFR, а если
в момент времени 
, то 
. Функции 
принимают следующие значения:
;
Для определения справедливой
стоимости 
, устраивающей и покупателя и продавца опциона, надо
производить все расчеты, исходя из значения 
, где (в рассматриваемом случае) 
.
Используя приведенную выше
терминологию, построим последовательность 
.
,
тогда рациональная стоимость опциона 
SFR.
Можно считать, что
продавец опциона, получив от покупателя 
20,97 SFR, обладает начальным капиталом
SFR. Из представления 
можно считать, что 
, , 
. Перед моментом времени продавец должен перераспределить свой начальный портфель 
в портфель 
. Оптимальные значения 
и 
вычисляются по формулам 
и 
Интерпретация этих
значений 
и 
состоит в следующем. Отрицательность
величины 
означает, что эмитент совершает заем в банке под
проценты (равный 22,20 SFR). Значение 
означает, что на сумму 
SFR он может приобрести 0,29
100=29 US $ (по курсу «150 SFR=100US $).
Рассчитаем портфель в
момент времени . Количество акций
,
где 
,
а количество денежных средств на банковском счете
.
Капитал в моменты времени и вычисляется
по формулам 
, 
.
Рациональный момент остановки
вычисляется по формуле: 
.
Рассмотрим возможные ситуации, которые могут произойти на рынке:
1)
Пусть 
(произошло падение стоимости акции во все моменты времени),
то есть 
SFR , 
SFR. В этом случае получаем 
, 
,
, следовательно момент остановки 
(если произошло падение
стоимости акции в момент времени 
нужно
предъявить опцион к исполнению).
Из выше выведенных
формул капитал и портфель в момент времени n=1 выглядит следующим образом: 
, 
,
, то есть, мы заняли в банке под проценты 22,20 SFR и купили на все деньги 0,29100=29 $ US.
При наступлении момента n=1 нам нужно продать все доллары и вернуть долг в банк. Функция выплат в этом случае равна нулю, поэтому опцион к исполнению не предъявляется. Что произойдет на рынке в следующий момент времени, нас уже не интересует. Все обязательства по контракту выполнены.
2)
При 
и 
,
т.е. 
SFR, 
SFR
получаем исход идентичный предыдущему. Значения ,
, .
В момент времени : SFR, ,.
Момент остановки .
3)
При 
и 
(
SFR SFR) получаем:
,
, .
Момент остановки 
, а капитал и портфель равны 
SFR, , и 
SFR, 
, 
Здесь , так как произошло падение курса доллара во второй момент
времени и опцион предъявляется к исполнению в конечный момент, но функция
выплат тоже равна нулю, поэтому условия соблюдены.
4) При 
(
) получаем:
Момент остановки . Капитал и портфель равны
соответственно при и 
SFR, ,; 
SFR, , 
.
В этой ситуации функция
выплат равна 32 SFR , то есть
продавец опциона должен выплатить покупателю сумму определенную функцией выплат
равную 32 SFR. Продавец во второй момент имеет
0,296 21664
SFR. С этой суммы продавец должен заплатить
по контракту и вернуть долг в банк равный 
SFR.
Таким образом, мы получили, что при любой ситуации на рынке продавец может выполнить условия контракта и расплатится с кредиторами.
2. В первом пункте мы рассмотрели случай без
оттока или притока капитала из вне. Теперь сделаем те же самые расчеты, но уже
с оттоком капитала. Допустим, что последовательность случайных функций 
измеримых
относительно 
– алгебры 
представляют собой оплату
участником рынка в момент времени 
за предоставленную
информацию в момент времени 
. Пусть 
, где 
некоторый
фиксированный процент. Предположим, что 
.
Все остальные предположения относительно рынка и опциона пусть остаются
прежними.
Рассчитаем последовательность 
.
,
Тогда капитал вычисляется следующим образом:
Портфель определяется из следующих соотношений:
;
;
.
Рациональная стоимость
SFR.
Рассмотрим возможные ситуации, которые могут произойти на рынке:
1)
Пусть (произошло падение стоимости акции во все моменты времени),
то есть SFR , SFR.
,
, 
.
,
, 
.
.
,
, 
,
, 
Из выше выведенных
формул капитал и портфель в момент времени n=1 выглядит следующим образом: 
, 
,, то есть, занимаем в банке под проценты 22.20 SFR и покупаем доллары сумму займа и
начального капитала, но с вычетом процента за услуги, т.е. на (46,17-150*0.01) SFR покупаем 0,2978100=29.78 $ US.
При n=2 — капитал , а портфель такой, что 
, 
, значит нужно продать все доллары,
отдать долг в банк и заплатить за услуги. Функция выплат в этом случае равна
нулю, поэтому опцион к исполнению не предъявляется. Все обязательства по
контракту выполнены.
2) При и , т.е. SFR, SFR получаем исход идентичный предыдущему.
,
, 
.
,
, .
.
В момент времени : ,
,
В момент : ,
,
3) При и (SFR SFR) получаем:
,
, 
.
,
, 
.
.
,
, 
,
,
Здесь функция 
выплат равна нулю, значит нужно
только вернуть долги.
4) При (, ) получаем:
SFR, 
,
SFR, 
,
, 
.
,
, 
.
.
В этой ситуации функция
выплат равна 32 SFR , то есть
продавец опциона должен выплатить покупателю 32 SFR. Инвестор в момент имеет
0,296221664 SFR. С этой суммы продавец должен заплатить по контракту,
вернуть долг в банк равный 
SFR .
При любой ситуации на рынке продавец может выполнить
условия контракта и расплатится с кредиторами. В этом примере при сделанных
предположениях опцион Американского типа совпадает с опционом Европейского типа,
т.к. момент исполнения тождественно равен двум 
.
