Материалы
§5. Расчет стоимости опционов Американского типа и формирования портфеля для функций выплат с последействием
1. Будем рассматривать 
– рынок, определяемый соотношениями (1) и (2), начальными
данными 
и параметрами a, b и r такими, что 
. Предполагается также, что на исходном дискретном
пространстве 
с 
задана мера 
, относительно которой
последовательность 
есть последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин с 
, 
и 
, т.е. 
. Пусть последовательность
функций 
такая, что 
зависит от всех 
,
т.е. 
. И пусть 
– момент времени предъявления
опциона к исполнению.
Введем некоторые
обозначения. Обозначим через 
– множество всевозможных последовательностей
из нулей и единиц длины 
. Если 
, то 
обозначим как сумму первых i
элементов последовательности t, т.е. 
, где 
и 
принимает значения 0 или 1, (
).
Определим последовательность 
, где 
алгебра 
Так как 
– измеримы относительно 
для любого 
, то
существует функция 
такая, что 
. Положим 
(5.1)
Докажем, что 
. Выберем произвольное 
,
тогда 
, т.к. 
независимые случайные величины и 
–алгебра 
.
Рассмотрим введенную в
(4.12) последовательность 
,
.
Учитывая (5.1) получаем, что для 
выполнено
равенство:
.
Остальные члены последовательности 
рассчитаем
рекуррентно начиная с 
. Из (5.1) и (4.12)
получаем
и так далее. По аналогии, получаем
.
В общем виде
.
(5.2)
Из (4.26) получаем, что рациональная
стоимость опциона вычисляется по формуле 
.
Рациональный момент получаем по формуле (4.14) 
учитывая
(5.2).
По лемме 1 §4 последовательность 
на множестве 
удовлетворяет мартингальному
свойству:
,
(5.3)
и ее можно разложить:
,
где 
и 
— 
измеримы.
Так по этой же лемме на множестве 
капитал в момент времени удовлетворяет равенству 
. Тогда портфель 
вычисляется по формулам: 
, 
,
где 
из разложения (2,2), а из (5.3).
2. Выведем также формулы для цены, капитала и портфеля
когда есть отток или приток капитала со «стороны». Пусть 
последовательность функций измеримых
относительно . Функция 
это отток или приток капитала в
момент времени .
Аналогичным образом рассмотрим последовательность 
такую, что
тогда , где 
из (___), но вместо при
вычислении предполагается 
.
Из теоремы 2 §4 получаем, что
рациональная стоимость опциона вычисляется по формуле . Рациональный момент получаем по
формуле (4.14) 
и учитывая (5.2).
Капитал в момент времени вычисляется по формуле
,
где 
Портфель 
определяется в момент времени формулами:
количество акций
,
и количество облигаций
