Материалы
Пример
1. Приведем пример использования формул для расчетов стоимости опционов Европейского типа и хеджирующих стратегий. Рассмотрим Азиатский арифметический опцион купли (Asian arithmetical call option):
, 
,
где 
–
некоторая фиксированная константа (striking price), 
–момент
исполнения (maturity time, expiration data), 
–
стоимость акции в момент времени k.
В этом примере 
– рынок является моделью рынка валюты. Определим 
– момент времени, в который опцион
предъявляется к исполнению. Предположим, что
описывает (случайную) эволюцию
стоимости 100 US $ измеряемую в швейцарских франках. Пусть 
SFR, цена 
в момент времени 
в виде (2) равна 
, цена 
в момент времени 
–– 
, где 
и 
одинаково распределенные случайные
величины принимающие два значения: 
(в случае повышения курса доллара) и 
(в случае понижения). То есть
Предположим также, что 
SFR (стоимость одной облигации) и процентная ставка 
. Тем самым, помещение вклада на банковский счет принесет
прибыль 
, но и взятие некоторой ссуды взаймы облагается тем же
процентом при ее возврате.
Пусть время
предъявления опциона
к исполнению 
и
страйковая цена 
SFR.
Тогда в момент предъявления опциона к исполнению продавец должен выплатить 
SFR, которая
принимает следующие значения: 
Для определения
справедливой стоимости 
, устраивающей и покупателя и
продавца опциона, нужно производить все расчеты, исходя из значения 
, где (в рассматриваемом случае) 
. тогда 
SFR.
Используя приведенную
выше терминологию, можно считать, что продавец опциона, получив от покупателя 
20,97 SFR, обладает начальным капиталом 
SFR. Из представления 
можно считать, что 
, , 
(хотя это не играет ни какой роли
при дальнейшем расчете). Перед моментом времени продавец должен перераспределить свой начальный портфель 
в портфель 
. В соответствии с (3.2), (3.3)
оптимальные значения 
и 
вычисляются по формулам 
, где
и 
Интерпретация этих
значений 
и 
состоит в следующем. Отрицательность
величины 
означает, что эмитент совершает заем (равный 22,20
SFR). Значение 
означает, что на сумму 
SFR он может приобрести 0,29
100 US $ (по курсу «150 SFR=100US $).
Подсчитаем портфель в
момент времени
, где
таким образом
А капитал соответственно равен 
,
.
Рассмотрим возможные ситуации, которые могут произойти на рынке:
1) Пусть 
(произошло падение стоимости акции во все моменты времени),
то есть 
SFR , 
SFR
Из выше выведенных
формул капитал и портфель в момент времени n=1 выглядит следующим образом: 
, 
,
, то есть, занимаем в банке под проценты 22,20 SFR и покупаем на все деньги (суммы
выручки от продажи и и заемных средств) 0,29100=29
$ US.
При n=2 — капитал 
, а портфель такой, что 
, 
, значит нужно продать все доллары и
отдать долг в банк. Функция выплат в этом случае равна нулю, поэтому опцион к
исполнению не предъявляется. Все обязательства по контракту выполнены.
2) При 
и 
, т.е. 
SFR, 
SFR получаем исход идентичный
предыдущему. В момент времени 
:SFR, , .
В момент 
:
SFR, 
, .
3) При 
и 
(
SFR SFR) получаем:
SFR, ,
и SFR, 
, 
Здесь , хотя 
и 
не равны нулю, но в связи с
падением курса доллара во второй момент времени капитал превратился в нуль, но
и функция выплат тоже равна нулю.
4) При 
(
, 
) получаем:
SFR, ,
SFR, 
, 
.
В этой ситуации функция
выплат равна 32 SFR , то есть продавец
опциона должен выплатить покупателю 32 SFR. Инвестор в момент имеет 0,296216=64 SFR. С этой суммы продавец должен заплатить по контракту
и вернуть долг в банк равный 
SFR.
При любой ситуации на рынке продавец может выполнить условия контракта и расплатится с кредиторами.
2. В первом пункте мы рассмотрели случай без
оттока или притока капитала из вне. Теперь сделаем те же самые расчеты, но уже
с оттоком капитала. Допустим, что последовательность случайных функций 
измеримых
относительно 
– алгебры 
представляют
собой оплату
участником рынка в момент времени 
за предоставленную
информацию в момент времени 
. Пусть 
, где 
некоторый
фиксированный процент. Предположим, что 
.
Все остальные предположения относительно рынка и опциона пусть остаются
прежними.
Тогда рациональная стоимость вычисляется следующим образом
=23,97SFR.
Капитал в первый момент времени 
, во второй
.
Портфель соответственно вычисляется по формулам:
,
;
,
, где 
,
, 
,
Рассмотрим возможные ситуации, которые могут произойти на рынке:
1)
Пусть (произошло падение стоимости акции во все моменты времени),
то есть SFR , SFR.
Из выше выведенных
формул капитал и портфель в момент времени n=1 выглядит следующим образом: 
, 
,
, то есть, занимаем в банке под
проценты 22.20 SFR и покупаем доллары на занятую сумму,
но с вычетом процента за услуги, т.е. на (46,17-150*0.01) SFR покупаем 0,3100=30 $ US.
При n=2 — капитал , а портфель такой, что , , значит нужно продать все доллары 
SFR, отдать долг в банк 
SFR и заплатить за услуги 0.9SFR. Функция выплат в этом случае равна
нулю, поэтому опцион к исполнению не предъявляется. Все обязательства по контракту
выполнены.
2) При и , т.е. SFR, SFR получаем исход идентичный
предыдущему. В момент времени :
, ,.
В момент :
SFR, , .
3) При и 
(SFR SFR) получаем:
SFR, ,.
и 
SFR, 
, 
Здесь , функция выплат равна нулю, значит нужно только вернуть
долги, вернуть в банк 
SFR.
4) При (, ) получаем:
SFR, ,
SFR, 
,
В этой ситуации функция
выплат равна 32 SFR , то есть
продавец опциона должен выплатить покупателю 32 SFR. Инвестор в момент имеет 0,2962216=64 SFR. С этой суммы продавец должен заплатить по контракту,
вернуть долг в банк равный 
SFR.
В момент предъявления опциона к оплате продавец имеет капитал равный функции выплат, а в остальные момент имеет капитал позволяющий оплатить услуги. При любой ситуации на рынке продавец может выполнить условия контракта и расплатится с кредиторами.
