Материалы
§4. Некоторые результаты из теории расчета стоимости и хеджирующих стратегий для опционов Американского типа
1. Будем снова рассматривать 
– финансовый рынок, определяемый соотношениями (1) и (2),
начальными данными 
и параметрами a, b и r такими,
что 
, и пусть 
— набор
неотрицательных платежных функций 
, 
.
В соответствии со схемой,
изложенной в §1, опционы Американского типа допускают, что, основываясь на
«информации» (
) о цене акций на
рынке, покупатель может предъявить опцион к исполнению в любой
(марковский) момент 
, 
, обладающий свойством
«независимости от будущего», означающим, что при любом n событие 
.
Если покупатель
предъявляет опцион к исполнению в момент времени τ, то продавец должен
выплатить ему сумму 
, которая определяется
«историей» стоимости акций 
. Мы будем
предполагать, что в момент τ происходит закрытие контракта, подразумевая
при этом, что оставшиеся после соответствующей выплаты 
средства могут находиться лишь
на банковском счете.
2. Пусть 
—
некоторая самофинансируемая стратегия, т.е. стратегия, для которой 
и 
,
входящие в 
, 
,
являются 
-измеримыми (
) и такими, что
(4.1)
Обозначим 
капитал в
момент времени n. Из условия
(5.1) следует, что
(4.2)
Рассмотрим величины
(4.3)
Последовательность 
является мартингалом и,
поскольку 
, для всякого марковского момента
τ, 
,
, т.е.
, где 
(4.4)
Предположим, к тому же окажется π является 
– хеджем, т.е. 
и 
для
всех 
. Тогда из (4.4) в
силу
произвольности τ находим, что
(4.5)
где sup
берется по всем марковским моментам 
.
Если к тому же окажется, что – хедж π является
минимальным (т.е. существует момент остановки σ такой, что для всех 
выполнено равенство 
), то тогда 
и, значит (см.4.5),
(4.6)
Оказывается, что это условие является
и достаточным для существования минимального 
–
хеджа. Достаточность докажем в следующей лемме, но прежде докажем
вспомогательную теорему.
Введем последовательность следующим образом:
(4.7)
(4.8)
Положим также для 
.
Следующий результат является одним из
центральных в теории задач об оптимальной остановке на конечном временном
интервале .
Теорема 1. [4, с. 661] Последовательность , определенная рекуррентными
соотношениями (4.7) и (4.8), и моменты 
,
обладают следующими свойствами:
1)
;
2)
для любого 
;
3)
и, в частности, 
;
4)
.
Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны для 
. дальше будем рассуждать индукцией
назад.
Пусть эти свойства уже установлены
для 
. Покажем, что тогда они выполнены
и для 
.
Пусть 
и
. Положим 
. Ясно, что 
и тогда для 
с учетом того, что 
, находим:
(4.9)
,
где последнее неравенство следует из (4.8).
Тем самым, 
. Требуемые утверждения 1) и 2)
будут установлены для , если показать, что 
. С этой целью обратимся к
цепочке неравенств в (4.9) и покажем, что для 
на
самом деле в (4.9) мы имеем всюду равенства. Действительно, на множестве 
, по определению 
, имеем 
и, поскольку по предположению
индукции
, то в (4.9)
,
где последнее равенство следует из того, что (по определению)
и 
на
, а на множестве 
имеем 
(значит,
на множестве 
).
Итак, утверждение 1) и 2) доказаны, а
следовательно, доказано и утверждение 3). Наконец, поскольку для всякого 
из 2)
,
то 
, т.е. имеет место
утверждение 4).
Лемма 1. [1, с. 54] (достаточность). Пусть начальный
капитал 
и последовательность функций
платежа 
такова, что выполнено условие
(4.6). Тогда в классе 
существует минимальный
хедж Американского типа.
Доказательство. Определим последовательность 
, полагая
(4.10)
Заметим, что в силу
"дискретности" рассматриваемого вероятностного пространства величины 
являются 
– измеримыми.
По теореме 1 последовательность представляется в виде:
(4.11)
и для всех 
(4.12)
Из (4.12) видно, что
,
(4.13)
Иначе говоря, последовательность 
является супермартингалом.
Из теоремы 1 известно также, что марковский момент
(4.14)
является оптимальным в классе всех марковских моментов 
со свойством 
, 
:
(4.15)
Будем обозначать 
. Тогда в силу предположения 
(4.16)
Поскольку последовательность 
является супермартингалом, то
согласно разложению Дуба [3. с 112;365] имеет место представление
,
(4.17)
где 
, последовательность 
является мартингалом, а последовательность
– неубывающей и предсказуемой,
т.е. 
— 
измеримы.
Чтобы получить (4.17) достаточно положить для 
,
.
По аналогии с (2.1) мартингал 
может быть представлена в виде
(4.18)
где 
и 
— измеримы.
Таким образом,
(4.19)
и 
, 
, причем 
.
Имея величины 
и ,
, построим стратегию 
с 
, 
и начальным капиталом 
. Соответствующий ей капитал 
будет тогда таким, что
нормированные величины 
удовлетворяют
соотношению
(4.20)
Поскольку 
,
то из сопоставления (4.20 и (4.18) находим, что 
и,
значит (с учетом того, что , 
),
(4.21)
Отсюда, в частности, следует, что 
для всех и, поскольку 
,
.
(4.22)
Таким образом, построенная стратегия 
является 
– хеджем с 
.
Заметим, что в силу (4.14) и (4.18)
последовательность на множестве 
удовлетворяет мартингальному
свойству:
,
(4.23)
и поскольку на этом множестве 
,
то в силу (4.21)
, 
.
(4.24)
Из определения момента 
, мартингального свойства (4.23)
и приведенной выше формулы
следует, что 
. В силу же
(4.24) и (4.17)
,
(4.25)
где 
.
Тем самым 
–
хедж 
, где 
определено
в (4.6), является (в соответствии с определением) минимальным. Лемма доказана.
3. Следующий результат является основным в проблематике расчетов стоимости опционов Американского типа.
Теорема 1. [1, с. 57] 1) В условиях – рынка справедливая стоимость 
опционов
Американского типа с крайней датой исполнения 
и
системой неотрицательных платежных функций 
определяется
формулой:
(4.26)
где 
,
– берется по всем марковским
моментам 
таким, что 
, и достигается при некотором 
.
2) Момент является
рациональным тогда и только тогда, когда
(4.27)
3) Множество 
не пусто и состоит из
минимальных хеджей.
Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, сделаем следующее замечание.
Из (4.26) и (4.27) видим,
что и величина и рациональный момент находятся в результате решения
одной и той же задачи об оптимальной остановке 
.
Вообще говоря, в этой
задаче нельзя найти без одновременного
отыскания и наоборот. Тем самым, если
удается решить сформулированную задачу об оптимальной остановке , то в результате мы получаем и значение
рациональной стоимости и описание структуры
рационального момента остановки .
Доказательство
теоремы. 1)
Утверждение (4.26) и тот факт, что верхняя грань в (4.24) достигается для
некоторого момента , вытекают из леммы 1
и неравенства (4.5).
2) Пусть стратегия является 
– хеджем. Тогда, если – рациональный момент исполнения
опциона, то 
и, значит, согласно (4.4)
,
что в силу (4.26) и доказывает (4.27).
Обратно, пусть 
– некоторый марковский момент со
свойством
(4.28)
Пусть 
– некоторая самофинансируемая
стратегия с начальным капиталом такая, что 
. Тогда в силу (4.28) и (4.4)
.
Но 
и,
значит, 
. Иначе говоря, если момент удовлетворяет (4.28), то он
является рациональным 
.
3) Согласно лемме 1
множество не пусто. Если стратегия является – хеджем, то для любого момента из множества рациональных
моментов выполнено равенство , что и
означает минимальность – хеджа . Теорема доказана.
4. Изложенные выше соображения для
расчета опциона Американского типа применимы в схеме 
– рынка с накладными расходами и
дивидендами. При этом величины рациональной стоимости и рациональный момент остановки находятся в результате одной и
той же задачи об оптимальной остановке:
,
.
Справедливо следующее обобщение Теоремы 1:
Теорема 2. [1, с. 58] Пусть 
– последовательность – измеримых функций.
1) В условиях – рынка с накладными расходами 
справедливая стоимость опциона Американского типа с крайней датой исполнения и системой платежных функций определяется формулой
,
где , супремум берется по
всем моментам остановки 
.
2)
Момент остановки рационален тогда и только тогда,
когда
.
3)
Множество непусто и состоит из минимальных
хеджей.
