Материалы

§2. Некоторые результаты из теории расчета стоимости и хеджирующих стратегий для опционов Европейского типа

1. Будем рассматривать – рынок, определяемый соотношениями (1) и (2), начальными данными и параметрами a, b и r такими, что . Предполагается также, что на исходном дискретном пространстве с задано семейство вероятностных мер , причем относительно каждой из мер P последовательность есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с , .

Пусть также – самофинансируемая стратегия и – отвечающий этой стратегии капитал, состоящий из средств, помещенных на банковский счет B и находящихся в акциях S, n=0,1.2,...,N.

Переходя к задаче отыскания справедливой стоимости опциона , отметим прежде всего, что с точки зрения классических задач о расчетах в азартных играх рассматриваемая сейчас (в определенном смысле тоже игровая) задача выглядит «нетрадиционно», поскольку значения вероятности p не известны. Но заметим, однако, что условие хеджирования (1.13) сформулировано как свойство для всех , которое в силу конечности множества W и условия 0<p<1 равносильно тому, что (1.13) имеет место P-п.н. для любой меры P из семейства . Поэтому, если для стратегии p свойство (1.13) выполнено -п.н. относительно некоторой меры , то оно будет выполнено и P-п.н. для любой меры и для всех .

Это обстоятельство объясняет тот несколько неожиданный на первый взгляд результат теории расчета стоимости опционов, что величина выражается как усреднение по некоторой мере из семейства , характеристическим свойством которой является ее «мартингальность».

2. Сформулируем следующий основной результат относительно расчета стоимости опционов Европейского типа, структуры оптимальной стратегии, который основывается на лемме о разложении мартингала, и эволюции соответствующего капитала.

Лемма 1 [1. с 43] (о разложении мартингала). Всякий мартингал с допускает следующее представление по «базисному» мартингалу m:

(2.1)

где —– измеримы, и .

Так как мартингал, то являются – измеримыми, то найдутся функции такие, что , . Тогда

(2.2)

Теорема 1 [1. с 38] 1) В условиях –рынка справедливая (рациональная) стоимость опционов с исполнением в момент времени , функцией платежа и использованием самофинансируемых стратегий определяется формулой

(2.3)

где –усреднение по мере такой, что

2) Существует минимальный самофинансируемый –хедж такой, что эволюция соответствующего ему капитала задается формулами

(2.4)

При этом измеримые компоненты определяются равенствами

(2.5)

( с из разложения (2.2), если положить ) и

(2.6)

3. Пусть N — терминальный момент, т.е. момент исполнения опциона, — минимальный хедж и — соответствующий терминальный капитал:

Рассмотрим ту неисключаемую ситуацию, когда (в то время как ). В этом случае

что можно интерпретировать следующим образом: капитал , получаемый из акций, слагается из выплаты покупателю опциона и возврата долга, взятого с банковского счета.

Аналогичная интерпретация может быть дана и в случае (в то время как ).

4. В изложенной выше схеме формирования капитала предполагалось, что его изменение может происходить только за счет «внутренних» изменений средств, находящихся на банковском счете и в акциях. Не допускается ни отток капитала (например, на потребление, налоги, операционные издержки, накладные расходы, и т.д.), ни его приток (например, за счет дивидендов от акций).

В этом пункте показано, как можно распространять предшествующие результаты с учетом указанных возможностей. Будем предполагать заданной последовательность функций , являющихся – измеримыми, .

Относительно рассматриваемых стратегий с будем предполагать следующее. В момент начальный капитал есть Преобразование портфеля в происходит с учетом значения , т. е. и должны быть такими, что