Материалы

Глава 1. Расчет стоимости опционов и стратегий для дискретного времени

§1. Основные понятия и определения

 1. Будем рассматривать – рынок, состоящий из двух активов — банковского счета  и акции . В этой модели предполагается, что динамика изменения банковского счета подчиняется рекуррентным соотношениям (1), т.е.

, , где процентная ставка  (фиксированная).

Стоимость акции  предполагается эволюционирующей по закону определенному в (2), т.е. , , где –– последовательность независимых случайных величин, причем принимают всего лишь два значения  a и  b  такие, что  . Условие , как было сказано во введении, обеспечивает положительность величин , а условие  делает доход (безрисковый), получаемый при вложении капитала в банк, заведомо не ниже дохода (рисковый), получаемого с акций, но и не выше (создает необходимость выбора: положить деньги на банковский счет или купить акции).

Случайные величины  можно представить в виде

                                                                                                      (1.1)

где

                                                                                                   (1.2)

Дополнительно предположим, что все происходит в моменты времени. Такой рынок, как уже было сказано выше, будем называть —рынком, функционирующим в моменты времени .

2. Уточним предположение о случайной последовательности . Будем предполагать, что последовательность  (или, равносильно, последовательность   ), определена на некотором измеримом пространстве . В качестве  можно рассматривать пространство реализаций последовательности , т.е. считать, что множество , и на нем задано семейство  вероятностных мер , причем относительно любой меры  последовательность случайных величин  является последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения a и b с положительными вероятностями

,                                                                       (1.3)

(т.е. и ).

Сделанное предположение о вероятностном характере эволюции последовательности , определяющей изменение цены акции , и о семействе  допустимых вероятностей  представляется с финансовой точки зрения весьма естественным. Поскольку относительно значений  сделать те или иные определенные предположения бывает довольно затруднительно, поэтому будем считать, что –– это лишь некоторое распределение из семейства . Относительно a и b на реальном рынке вполне возможно сделать какие–либо предположения относительно их значений.

3. Рассмотрим  инвестора, располагающего возможностями – рынка, который имеет начальный капитал  и интересуется увеличением его в будущем.

Инвестор может поместить (инвестировать) этот капитал  на банковский счет и тогда его капитал  в момент времени n будет в соответствии с (1) равен . Тем самым, если инвестор планирует поместить свой капитал на банковский счет с процентной ставкой , преследуя цель получить в некоторый момент времени  в будущем определенную сумму , то его начальный капитал  должен, очевидно, быть равен

С другой стороны, инвестор, имея начальный капитал , может купить акции. Это является, конечно, рискованным делом (по причине случайного характера изменения цены акции), хотя может быть и привлекательным, если есть надежда на повышение цены акции. Из (2) следует, что если вероятность  известна, то для получения в среднем суммы  (в момент времени ) начальный капитал должен быть таким, что

.

Еще у инвестора, оперирующего на –рынке, есть и третья возможность: поместить часть капитала на банковский счет, а часть–– в акции.

Имея в виду эту возможность, будем считать, что – цена одной облигации, а – цена одной акции (в момент времени ). Пусть инвестор в момент времени  располагает  облигациями и акциями (допускаются произвольные дробные и, вообще говоря, отрицательные значения, что соответствует взятию в долг: отрицательное значение  означает взятие займа с нормой возврата , а отрицательное  интерпретируется как взятие акции взаймы). Следовательно, начальный капитал инвестора есть

                                                                                                    (1.4)

а образует, как принято говорить, портфель (portfolio) инвестора в момент времени .

Будем допускать, что в промежутке времени от  до  инвестор может перераспределить содержание своего портфеля. Пусть к моменту времени ,  перед тем как будет объявлена новая (случайная) цена акции , инвестор преобразовал свой начальный портфель  в новый портфель , основываясь лишь на начальной информации о значениях  и не допуская при этом ни притока дополнительного капитала «со стороны» (например, от дивидендов с акции), ни его оттока «на сторону» (например, на потребление).

Перераспределенный таким образом портфель дает тогда для капитала  (наряду с (1.4)) новое представление

                                                                                                      (1.5)

В момент времени  происходит «объявление» новых цен на рынке, т.е. становится известным значение пары  и, следовательно, имеющего портфель , превратится в величину

                                                                                                       (1.6)

Иначе говоря, приращение  капитала определяется формулой

.                                                                                             (1.7)

Так обобщая (1.5) и (1.6) на произвольные моменты времени , находим, что

.                                                                                           (1.8)

и

,                                                                                                    (1.9)

где, естественно, подразумевается, что портфель  составляет лишь на основе предшествующей информации о ценах. Формально это означает, что и  являются  измеримыми,  где  (–алгебра порожденная величинами ).

Из (1.8) и (1.9) следует, что приращения  могут быть представлены в виде 

                                                                                             (1.10)

а суммарный капитал – в виде

Наглядный смысл (1.10) ясен: формирование капитала  осуществляется только за счет изменений  в ценах облигаций и акций и без какого–либо как его притока, так и оттока.

Заметим, что, вообще говоря, если , то приращение  имеет следующий вид:

Таким образом, условие (1.10) может быть переформулировано в виде соотношения

                                                                                               (1.11)

означающего, что  таковы, что изменение капитала на банковском счете (т.е. ) может происходить только в результате соответствующего изменения капитала в акциях (т.е. ) и наоборот.

Условие (1.11) выражают словами, что   образованы на принципе самофинансирования. В этом случае стратегию  называют самофинансируемой.

Чтобы подчеркнуть зависимость последовательности от стратегии  предполагаемой самофинансируемой, будем пользоваться записью  В тех же случаях, когда важно подчеркнуть зависимость и от , будем писать

Класс всех самофинансируемых (self–financing) стратегий будем обозначать для краткости SF.

4. Предположим на –рынке участник (называемый эмитент) может выпустить ценную бумагу, дающую право ее покупателю в некоторый ранее оговоренный момент времени  в будущем потребовать от продавца сумму  где функция  зависит, вообще говоря, от всей (случайной) реализации цен  акции S. Функция  естественно определяется обеими сторонами в начальный момент времени. Подобные ценные бумаги называются опционами Европейского типа.

Перед продавцом теперь стоит задача, какова должна быть стоимость продаваемой им ценной бумаги и как  довести в момент времени  свой капитал до величины, не меньшей, чем

Сформулируем несколько важных определений.

Определение 1. Говорят, что для данного  и неотрицательной функции самофинансируемая стратегия является –хеджем (hedje–забор), если для любого

                                                                                                                (1.12)

                                                                            (1.13)

где  подчиняются соотношениям (1.2):

 

и –константа,

В том случае, когда в (1.13) для всех  выполнено равенство

                                                                            (1.14)

говорят, что  является минимальным –хеджем.

Пусть –совокупность всех –хеджей

Определение 2. Величина

                                                                                 (1.15)

называется инвестиционной стоимостью (ценой), гарантирующей в момент  получение капитала не меньшего  для любого .

Замечание 1. В рассматриваемом случае «конечного» –рынка очевидно, что существует конечное такое, что  и, следовательно, .

С точки зрения сформулированной инвестиционной проблемы смысл величины  нагляден — это тот минимальный начальный капитал, который гарантирует инвестору (за счет подходящей конструкции портфелей  получить при всех  капитал заведомо не меньший величины .

Разумеется, за приобретение опциона, дающего возможность получить капитал, надо заплатить эмитенту некоторую «премию», которая как–то компенсировала бы его возможные потери. Понятно при этом, что назначение слишком большой премии (т.е. большой стоимости опциона) или просто оттолкнет покупателя, или же (в случае покупки опциона) может создать арбитражную ситуацию, состоящую в получении продавцом прибыли без риска. Назначение же слишком малой стоимости опциона, может, с другой стороны, привести просто к тому, что продавец опциона (средствами –рынка) будет не в состоянии выплатить требуемый условиями контракта платеж

Возникает тем самым вопрос о том, что естественно называть справедливой (с точки зрения продавца и с точки зрения покупателя) стоимостью (ценой, премией) и как ее рассчитывать.

Исходя из того понимания, что продавец опциона, получивший премию от покупателя, должен ею распорядится так, чтобы выполнить условия контракта, нетрудно понять, что справедливой стоимостью (ценой) Европейского опциона (с моментом исполнения и функцией выплат ) естественно называть именно величину .

Действительно, если продавец опциона получает премию , то он (выступая как инвестор на –рынке с начальным капиталом ) сумеет организовать стратегию , которая обеспечит в момент времени  капитал  .

В то же самое время  понятно, что если требуемая премия окажется меньше инвестиционной стоимости  , то продавец опциона не сможет, вообще говоря, выполнить условия контракта, а назначение же цены за опцион, строго большей, нежели , скажем  приводит к «арбитражной» ситуации – получению продавцом дохода   без всякого риска (поскольку на самом деле условия контракта были бы выполнимы и при стоимости ).

Теории расчетов стоимости  опционов Европейского типа, а так же отысканию оптимальных хеджирующих стратегий посвящены далее §§2,3 . В теории и практике опционов особую роль играют следующие два стандартных опциона Европейского типа:

опцион купли (опцион колл — call option) с

и опцион продажи (опцион пут — put option) с

где К — некоторая фиксированная константа  (striking price) и N — момент исполнения (maturity time, expiration data).

На фиксированных рынках встречаются самые разнообразные («экзотические») опционы.

Например,

опцион коллар (collar option) с

Бостонский опцион (Boston option) с

где

В приведенных опционах функция выплат   зависела лишь от значения  — стоимости акции в момент времени N.

Следующие опционы, обобщающие вышеуказанные опционы, естественно называть опционами с последействием как допускающие зависимость  от всех «прошлых значений

Стандартный опцион купли с последействием (look back call option):

 с

Стандартный опцион продажи с последействием (look back put option):

 с

Азиатский арифметический опцион купли (Asian arithmetical call option):

Азиатский арифметический опцион продажи (Asian arithmetical put option):

 c

5. Введенные выше опционы Европейского типа характеризуются фиксированным и оговариваемым условиями контракта моментом исполнения N и видом платежной функции .

Рассмотрим опционы Американского типа, отличительной особенностью которых является то, что момент предъявления опциона к исполнению может быть произвольным моментом из оговариевомого контрактом множества моментов. Пусть  суть моменты времени, в которые опцион может предъявляться к исполнению.

Предположим также, что задана (оговариваемая условиями контракта) последовательность функций  где   интерпретируется как выплата покупателю опциона, если он предъявляет опцион к исполнению в момент времени  и соответствующая реализация цен акции есть

Опционы Американского типа, как было сказано выше, предоставляют его обладателям возможность произвольно выбирать момент исполнения  в зависимости от «истории» –рынка. Поскольку решение вопроса о том, предъявить ли опцион к исполнению в момент времени  (т.е. принять ) или продолжить его действие (т.е. считать ), должно определять при этом лишь имеющейся информацией до момента  включительно, то естественно считать, что является марковским моментом (или моментом остановки). Иными словами,  есть «не зависящая от будущего» случайная величина со значениями в множестве , характеризуемая свойством, что для всякого допустимого конечного событие

где алгебра

Предположим, что–момент предъявления опциона к исполнению. Согласно контракту продавец тогда должен быть готовым к платежу  и, следовательно, он должен свои стратегии выбирать так, чтобы в любой возможный момент времени соответствующий капитал  был бы не меньше .

Определение 3. Говорят, что для данного  и заданного набора неотрицательных функций платежа  с  стратегия  является –хеджем Американского типа, если для любых

и всех

   

Если к тому же при некотором марковском моменте выполнено равенство

                                                (1.16)

то –хедж называют минимальным.

Будем обозначать  совокупность –хеджей.

Заметим, что если удовлетворяет свойству (1.16), то тогда и для любого конечного марковского момента ,

                                                       (1.17)

Это свойство –хеджирующих стратегий, а также рассмотренная выше связь между «инвестиционной проблемой» и «проблемой справедливой цены» опционов делает целесообразным следующее

Определение 4. Величина определяемая как

называется справедливой, или рациональной стоимостью опционов Американского типа с крайней датой исполнения и системой функций выплат .

6. Зададимся теперь следующим вопросом: «Каковы те рациональные моменты , в которые «разумный» покупатель должен предъявлять опцион к исполнению?».

Пусть стоимость опциона равна величине , определенной выше. Если покупатель решил предъявить опцион к исполнению в момент , то он заведомо получит платеж . Предположим, что на –рынке существует инвестиционная самофинансируемая стратегия  с начальным капиталом , которая имеет в момент времени  стоимость , строго большую, чем . Тогда это означает, что, выбирая  как момент исполнения опциона, покупатель ведет себя нерационально, поскольку если бы вместо покупки опциона он сам организовал портфель  (предполагается, что такая возможность в принципе имеется), то в этот момент  он имел бы капитал больший, нежели .

Определение 5. Марковский момент  будем называть рациональным, или разумным, моментом исполнения (погашения) Американского опциона, если при начальном капитале  для любой стратегии со свойством

 

на самом деле имеет место равенство

 

7. Расчет стоимостей  и  опционов Европейского и Американского типов, а также отыскание оптимальных хеджей (хеджирующих стратегий) и рациональных моментов остановки являются одними из основных проблем теории опционов в финансовой математике.