Материалы

Введение

Совокупность различных видов ценных бумаг, операции совершаемые с ними, спрос и предложение и т.д., все это объединяется в такое обширное понятие, как рынок ценных бумаг. Существует большое количество различных видов ценных бумаг, наиболее распространные из них — это облигации, акции, опционы, форвардные контракты, варранты и т.д. Некоторые бумаги формируются на основе других ценных бумаг, такие бумаги называются производными. Расчет рыночной стоимости, размещение, определение времени в которое наиболее выгоднее купить, продать, предъявить к исполнению (если другое не оговорено в контракте)  те или иные ценные бумаги являются одними из основных проблем на финансовом рынке. Финансовая математика на некоторых идеализированных моделях рынков позволяет решить часть этих проблем.

В настоящей работе будем рассматривать дискретную модель рынка, т.е. функционирующего в моменты времени  и модель функционирующего непрерывно во времени рынка, т.е. если – временной параметр, то .

Пусть рынок состоит только из двух активов — облигации (банковского счета)  и акции . В этой модели будем предполагать, что динамика изменения банковского счета подчиняется рекуррентным соотношениям

,                                                                                                         (1)

где процентная ставка  (фиксированная).

Стоимость акции  предполагается эволюционирующей по закону

,                                                                                                    (2)

где –– последовательность независимых случайных величин, причем  принимают всего лишь два значения  a и  b  такие, что

                                                                                                                         (3)

(условие  обеспечивает положительность величин ). При сделанных предположениях банковский счет является «безрисковым» активом, а акции «рисковым» активом, что выглядит довольно естественно. Такая модель называется – рынок. Модель – рынка впервые была предложена Коксом, Россом и Рубинштейном в 1976 году.

В развитие дискретной модели, рассмотрим (B,S)-рынок, функционирующий непрерывно во времени, где относительно банковского счета В предполагается, что  – детерминированная функция с

,  ,                                                                                                     (4)

Цена акции   пусть является моделью  «геометрического» (или «экономического») броуновского движения, т.е.

                                                                                         (5)

где – винеровский процесс («обычное» броуновское движение), . Эта модель была предложена  П. Самуэльсоном.

Представим, что участник (эмитент)  рынка может выпустить ценную бумагу, предоставляющую возможность её покупателю в некоторый фиксированный момент времени потребовать выплатить продавцу некоторую сумму, определяемую заранее оговоренной функцией (функция выплат). Такие ценные бумаги называются опционами Европейского типа. Если предположить, что функция выплат в момент времени предъявления зависит от всех предыдущих значений цены акции, то она называется функцией выплат с последействием.

Большее распространение в финансовой практике получили так называемые опционы Американского типа, отличительной особенностью которых является то, что момент предъявления опциона к исполнению может быть произвольным моментом из оговариевомого контрактом множества моментов , в случае дискретного времени, или из множества , в случае непрерывного. Значение  (или ) — последний момент предъявления опциона к исполнению.

 Покупатель опциона естественно должен заплатить некоторую премию (цена опциона) за контракт, а продавец, в свою очередь, должен так  распорядиться полученной премией, чтобы в момент предъявления мог выполнить свои обязательства. В последующих параграфах мы подробней рассмотрим суть подобных контрактов

Названия «Европейский» и «Американский» не отражают того географического факта, что они имеют хождение только в Европе, либо только в Америке; большая часть заключаемых в мире опционов является опционами именно Американского типа.

Данная работа посвящена расчетам, связанным с опционами Европейского и Американского типов. Выполнены расчет  стоимости, удовлетворяющей и покупателя и продавца (рациональная стоимость), отыскание оптимальных стратегий (хеджирующих стратегий), позволяющих выполнить обязательства, и моментов, в которые необходимо предъявить опцион Американского типа к исполнению (рациональные моменты остановки). Были получены результаты для опционов с функцией выплат с последействием:

—    вывод формул для получения справедливой стоимости опциона и хеджирующих стратегий для опционов Европейского типа на -рынке без оттока (или притока) и с оттоком (или притоком) капитала для дискретного времени;

—    вывод формул для получения справедливой стоимости опциона, хеджирующих стратегий и оптимального момента остановки для опциона Американского типа на -рынке без оттока (или притока) и с оттоком (или притоком) капитала для дискретного времени;

—    приведены примеры использования полученных формул для определения справедливой стоимости опциона и хеджирующих стратегий для опционов Европейского типа на – рынке, функционирующем до момента времени без оттока (или притока) и с оттоком (или притоком) капитала для дискретного времени;

—    приведены примеры использования полученных формул для определения справедливой стоимости опциона, хеджирующих стратегий и  оптимального момента остановки для опционов Американского типа на – рынке, функционирующем до момента времени без оттока (или притока) и с оттоком (или притоком) капитала для дискретного времени;

—    приводятся некоторые теоретические результаты о распределении интеграла от процесса геометрического броуновского движения (вычисляются первый и второй моменты);

—    описан метод, позволяющий рассчитать стоимость опциона Европейского типа в случае непрерывного времени и приведена программа расчета стоимости, основанная на этом методе, с примером ее применения.